Зетель с и новая геометрия треугольника пособие для учителей

§ 1. Предмет тригонометрии. Слово тригонометрия в переводе с греческого языка означает измерение треугольников. Такое название она получила потому, что первоначальной задачей этой науки было нахождение способов вычислять неизвестные элементы треугольников (углы и стороны) по другим, известным их элементам (решение треугольников). Эта задача и ныне остаётся одной из основных задач тригонометрии.

Для установления числовых зависимостей между сторонами и углами треугольника в тригонометрии рассматриваются особые вспомогательные величины, зависящие от величины угла, называемые тригонометрическими функциями. Но значение тригонометрических функций не ограничивается их применением к решению треугольников — они находят применение во многих других отделах математики, а также в физике, механике и т. д. В связи с этим изучение тригонометрических функций сделалось не менее важной задачей, чем решение треугольников.

Таким образом, тригонометрия распадается на две части: гониометрию — учение о свойствах тригонометрических функций, и тригонометрию в узком смысле слова — учение о решении треугольников.

Тригонометрия имеет большое применение в практике: при геодезических работах — определение высот и расстояний, съёмка планов, триангуляция; в астрономии—определение высот и азимутов светил, склонения и прямого восхождения, вообще небесных координат, а знание небесных координат ведёт к вычислению географических координат; в механике — проектирование силы на ось, направление равнодействующей, законы периодического движения; в машиноведении — расчёт нарезок, зубчатых колёс и т. п.

Возникла тригонометрия в Греции в связи с астрономией; астрономия в свою очередь развивалась под влиянием потребностей мореплавания и земледелия: для безопасности морских путешествий требовалось определять по звёздам правильный курс корабля; для земледелия требовался точный календарь, который могла дать астрономия, основанная на математике и в частности на тригонометрии.

Автором первых тригонометрических таблиц считается Гиппарх, живший во II в. до нашей эры. Таблицы Гиппарха содержали длины хорд для различных центральных углов.

За 100 лет до нашей эры учёный Менелай открыл основы сферической тригонометрии. Клавдий Птоломей, знаменитый автор докоперниковской геоцентрической системы мира, в своей книге „Syntaxis Mathematica» поместил таблицы длины хорд круга, радиус которого равен единице. Радиус он делил на 60 частей, каждую из частей — ещё раз на 60 частей и ещё раз на 60 частей; эти части назывались partes minutae primae и partes minu- tae secundae, откуда и произошли наши названия: минуты („первые уменьшенные части») и секунды („вторые уменьшенные части»). Таблицы Птоломея содержали величины хорд для центральных углов 1° 1°

в 1°, 1-L, 2°, 2 * & л

В средние века тригонометрия развивалась в Индии. Индусы употребляли половину хорды, т. е. линию синуса; они же ввели косинус. Индусам были известны таблицы синусов, формула sin,a4-cos2a= 1 (которую, впрочем, они писали не с помощью математических символов, а словами) и приведение синуса и косинуса тупого угла к функциям острого угла.

В IX и X вв. арабские учёные ввели тангенс и составили более точные таблицы синусов. Развитие тригонометрии у арабов объясняется тоже потребностями астрономии и мореплавания, так как арабы вели большую торговлю по Средиземноморскому побережью.

В Европе первым писателем по тригонометрии был английский учёный Брадвардин (XIII и XIV вв.). Первый систематический курс тригонометрии написал в XV в. немецкий учёный Иоган Мюл-лер из Кёнигсберга, писавший под именем Региомонтана. В книге „О треугольниках всех видов» он приводит решение плоских и сферических треугольников. Региомонтан излагает тригонометрию уже как самостоятельную науку, независимую от астрономии.

С XVI в., после введения Виета буквенных обозначений, формулы тригонометрии принимают современный характер.

Из других учёных работали в области тригонометрии Непер (изобретатель логарифмов), Потенот и гениальный Эйлер. Эйлера можно считать основателем современного учения о тригонометрических функциях.

§ 2. Понятие о функции. Существуют переменные величины, связанные между собою так, что каждому значению одной из них соответствует определённое значение другой. Таковы, напри-мер, переменные величины у и х в следующих равенствах:

таковы же: сторона квадрата и его площадь, радиус шара и его объём и т. д.

Переменная величина, значения которой соответствуют значениям другой переменной величины, называется функцией этой второй величины. Так, например, можно сказать, что площадь круга есть функция его радиуса; действительно, с изменением длины радиуса изменяется и площадь круга, и при этом каждому значению радиуса соответствует определённое значение площади круга (и наоборот: радиус круга мы назовём функцией его площади, если будем назначать площадь и по ней определять радиус).

Та величина, в зависимости от которой изменяется функция, называется аргументом функции. Так, если равенство у=х* служит для определения у по данному х, то х есть аргумент, а у — функция; так же в равенстве у= lg /V имеем: N есть аргумент, у—функция.

§ 3. Измерение дуг и углов. Как известно из геометрии, углы измеряются с помощью дуг.

Если дуга служит для измерения угла, то её выражают или в долях окружности, или в долях радиуса *).

Первый способ даёт для дуги и угла градусное выражение, известное из геометрии.

Второй способ состоит в том, что дугу выражают числом, показывающим её отношение к радиусу; если, например, сказано: „величина дуги равна 2,43“, то значит, что выпрямленная дуга содержит 2,43 радиуса; полуокружность по этому способу измеряется отношением it/? : /?, т. е. числом it, а четверть окружности — числом

Такое измерение дуги мы будем называть радианным.

Чтобы при этом способе центральный угол измерялся тем же числом, что и его дуга, надо, чтобы угловая единица соответствовала дуге, длина которой равна радиусу. Такая угловая единица называется радианом.

понимается как „угол, равный тс радианов».

Так как в длине окружности радиус содержится 2тс раз, то градусная мера радиана (и дуги, равной радиусу) есть-—— ; это равно 57°17’44»,8 (с точностью до 0°,05).

*) Первый способ нагляднее и применяется в практических измерениях (на угломерных инструментах), второй предпочитают в теоретических вопросах.

Центроид традиционно обозначается латинской буквой . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

СвойстваПравить

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой внутри массой также находится в центроиде.
• Если   — центроид треугольника   то для любой точки   верно равенство
   .
• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
• Пусть   — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника  , называется окружностью Парри треугольника  .
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

и
 ,
где   — площадь треугольника.

ИсторияПравить

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольникеПравить

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble

Бумажные книгиЭлектронные книги

Бумажную книгу купить в Москве и в России с доставкой по всей России

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника.На иностранных языках существует ряд сочинений, в которых систематически излагаются результаты исследований в области . На русском языке в 1903 г. бьпо выпушено обстоятельное сочинение Д. Ефремова « , ныне представляюшее библиографическую редкость. Цель настоящей книги дать читатепям учителям средней школы, студентам педвуза, любознательным учащимся старших классов средней школы основные сведения по « ».
• В книжном интернет-магазине «Читай-город» вы можете заказать книгу (Д.Д. Ефремов) ISBN: 978-5-9519-2690-6, по низкой цене.Вниманию читателей предлагается один из первых в России трудов по , в котором систематически изложены результаты исследования фигур, так или иначе связанных с . Эти результаты составили целый отдел в планиметрии, получивший в зарубежных изданиях название » «.
• Стоит ли покупать Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. С.И. . — на Яндекс.Маркете — отзывов пока нет.
• Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради.
  Ранцы, рюкзаки, сумки.
  И многое другое.
• Вниманию читателей предлагается один из первых в России трудов по , в котором систематически изложены результаты исследования фигур, так или иначе связанных с . Эти результаты составили целый отдел в планиметрии, получивший в зарубежных изданиях название » «.
• Авторизируясь в Лабиринте, я подтверждаю, что я старше 18 лет, принимаю условия пользовательского соглашения и даю добровольное согласие на обработку своих персональных данных и получение E-mail / SMS и Viber рассылок с информацией об акциях и поступлениях Интернет-магазина.Иллюстрации к книге Юлия Гендина — Уютная . Модные техники вязания крючком для стильного интерьера. Рецензии на книгу «Уютная .
• Аннотация к книге «Избранные задачи по геометрии. Треугольник»Автор(ы)Куланин Евгений Дмитриевич,Федин Сергей Николаевич ИздательствоИлекса ISBN978-5-89237-438-5 Количество страниц160 Упаковкаобл — мягкий переплет (крепление скрепкой или клеем) ИллюстрацииЧерно-белые Масса152 Размеры203x140x7. Избранные задачи по . Куланин Евгений Дмитриевич,Федин Сергей Николаевич Задачник является третьей книгой в серии, посвященной отдельным фигурам.
• . Издательство Интеллект-Центр выпускает учебно-методическую литературу по всем школьным предметам, реализующую современные технологии в обучении и контроле знаний. Все издания ориентированы на действующие учебные программы и учебники, соответствуют требованиям государственных образовательных стандартов, обязательному минимуму содержания образования и могут использоваться с учебниками федерального перечня.
• Геометрия. Математические науки. Естественные науки.Все в жанре «». 649 ₽ 1 180. –45 % Выгода 531 ₽. Линейная алгебра и аналитическая . Учебник.Авторизируясь в Лабиринте, я подтверждаю, что я старше 18 лет, принимаю условия пользовательского соглашения и даю добровольное согласие на обработку своих персональных данных и получение E-mail / SMS и Viber рассылок с информацией об акциях и поступлениях Интернет-магазина.

Электронные книги купить в России, СНГ и по всему миру

• Геометрия треугольника, тетраэдра, симплекса — Н. С. ДенисоваВ учебном пособии изучаются свойства , тетраэдра, симплекса, выявляются аналогичные свойства медиан, высот, биссектрис , тетраэдра, симплекса, изучаются окружности, связанные с , и сферы, связанные с тетраэдром и симплексом, сравниваются свойства прямоугольного и прямоугольных тетраэдра и симплекса.
• Том 3: Треугольники и тетраэдры, Я. П. Понарина в pdf или читать онлайн! Оставляйте и читайте отзывы о книге на ЛитРес! Оно содержит разнообразные сведения о геометрии треугольника и тетраэдра. Представлен большой материал из богатого классического арсенала геометров прошлого. Книга может быть использована для внеклассной работы с учащимися, для самообразования учителей, для спецкурсов и спецсеминаров по элементарной геометрии в педагогических вузах.
• В электронной библиотеке ЛитРес можно читать онлайн бесплатно . 7-9 класс от Л. С. Атанасяна! Оставляйте и читайте отзывы о книге на ЛитРес!Это обеспечивает ряд методических преимуществ в построении курса , в частности, при изложении темы «Подобные ». В целом же в 8 классе классическими методами изучаются свойства и четырёхугольников, выводятся формулы площадей, рассматриваются различные понятия и факты, связанные с окружностью.
• Неправильный треугольник, или Геометрия для взрослыхЧитать онлайн книгу «Неправильный , или для взрослых» автора Марины Семеновой полностью, на сайте или через приложение ЛитРес: Читай и Слушай. Книга правообладателя Мультимедийное издательство Стрельбицкого.Не сказала Лиза ни слова и в тот день, когда после конфликта с капитаном Вадим, «гордо» хлопнув дверью, ушел с работы. Не упрекала и позже, когда после месяца безрезультатных поисков места работы он, амбициозный и не привыкший быть невостребованным, впал в затяжную депрессию.
• Эта книга написана не только для любителей , но и для людей, разговаривающих с на «Вы». Книга предназначается для той широкой категории читателей, от которых по каким-то причинам оказались скрыты многие привлекательные стороны этой замечательной науки. Автор стремится освежить и оживить те знания по , которые уже имеются у читателя, и, безусловно, научить чему-то . Говоря словами автора, «внушить охоту и воспитать вкус к ее изучению – прямая задача настоящей книги».
• ЛитРес — это самая большая библиотека электронных книг. Покупай, скачивай, читай и слушай лицензионные электронные книги и аудиокниги для компьютеров, телефонов и планшетов. На LitRes публикуются отзывы, рейтинги книг, рекомендации, рецензии, информация об авторах.

На данной странице Вы можете найти лучшие предложения для покупки книги «Новая геометрия треугольника, Зетель С.И., 1940» по лучшей цене в интернет магазинах Лабиринт, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru, Литгид, Озон.

В этих официальных книжных интернет-магазинах вы можете купить недорого бумажную и электронную книгу по самой дешевой цене с доставкой по России и в другие страны. Также в этих магазинах можно купить книжные новинки и бестселлеры.

Официальные сайты интернет-магазинов по продаже книг в России и по всему миру:

Для формирования результатов поиска книг использован сервис Яндекс.XML.

Нашлось 10 млн ответов. Показаны первые 18 результата(ов).

Дата генерации страницы: суббота, 5 ноября 2022 г., 9:22:17 GMT

А. Д. Блинков, Ю. А. Блинков. Задачи на построение. МЦНМО, 2010 г. Демо-версия / купить

Б. П. Гейдман. Площади многоугольников. МЦНМО 2001 г. (pdf)

Для продолжающих

С.Грейтцер, Г.М. Коксетер. Новые встречи с геометрией (djvu)

В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. МЦНМО, 2006 г. (pdf)

Я. П. Понарин. Элементарная геометрия. Том 1. МЦНМО, 2004 г. (pdf)

Геометрия треугольника

А. Г. Мякишев. Элементы геометрии треугольника. МЦНМО 2000 г. (pdf)

В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. МЦНМО 2000 г. (pdf)

Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. 1902 г. Онлайн издание

С. И. Зетель Новая геометрия треугольника. 1962 г. (djvu)

Я. П. Понарин Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры. МЦНМО, 2006 г. (pdf)

Преобразования

И. М. Яглом Геометрические преобразования. , ГИТТЛ, 1955 г Том 1 (djvu)

Неравенства и комбинаторная геометрия

В. Ю. Протасов Максимумы и минимумы в геометрии МЦНМО, 2005 г. (pdf)

Кривые

Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер. Прямые и кривые. Наука, 1978 г. (djvu)

А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. (pdf)

Антибиссектриса

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 мая 2020 года; проверки требуют 2 правки.

Антибиссектри́са угла треугольника (от лат. anti,  bi- «двойное» и sectio «разрезание») — определенный луч с началом в вершине угла, делящий угол на два угла.

Антибиссектриса внутреннего угла — геометрическое место точек внутри угла, расстояния которых до двух сторон угла обратно пропорциональны квадратам этих сторон.

В треугольнике под антибиссектрисой угла может также пониматься отрезок антибиссектрисы этого угла до её пересечения с противолежащей стороной.

ЗамечаниеПравить

Как и биссектрисы, антибиссектрисы можно провести не только к внутренним, но и к внешним углам треугольника. При этом сохраняется свойство их взаимной изотомичности или изотомической сопряжённости.

Антибиссектрисы треугольника впервые введены Óканем (D’Ocagne).

• Теорема об антибиссектрисе: Антибиссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, обратно пропорциональном длинам двух прилежащих к ней сторон.
• Антибиссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к биссектрисе того же угла.
• Две чевианы (прямые) треугольника, будучи проведенными из одной вершины, основания которых равноудалены от середины стороны, которую они пересекают, называются изотомически сопряжёнными или изотомическими. Биссектриса и антибиссектриса одного внутреннего угла треугольника изотомически сопряжены друг другу.
• Антибиссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре антибиссектрис.
• Отрезки сторон треугольника, заключенные между прямыми, проведёнными через центр антибиссектрис параллельно сторонам, равны между собой.
• Антибиссектриса треугольника проходит через основание биссектрисы дополнительного треугольника.

• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год. §52.

Новая геометрия треугольника (1962)

Категория: КНИГИ » УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Цель настоящей книги — дать читателям: учителям средней школы, студентам педвуза, любознательным учащимся старших классов средней школы — основные сведения по «Новой геометрии треугольника».2-е издание.

Нашел ошибку? Есть жалоба? Жми!Пожаловаться администрации

В XIX в. в элементарной геометрии на плоскости было проведено много интересных исследований. Они привели к установлению ряда соотношений в треугольнике; к известным классическим замечательным точкам, прямым и окружностям было присоединено много новых точек, прямых и окружностей. Изложение результатов этих исследований составляет большой отдел планиметрии, известный под названием «Новой геометрии треугольника». На иностранных языках существует ряд сочинений, в которых систематически излагаются результаты исследований в области геометрии треугольника. На русском языке в 1903 г. было выпущено обстоятельное сочинение Д. Ефремова «Новая геометрия треугольника , ныне представляющее библиографическую редкость.Цель настоящей книги дать читателям— учителям средней школы, студентам педвуза, любознательным учащимся старших классов средней школы—основные сведения по «Новой геометрии треугольника».

Первый шестиугольник Лемуана. Шестиугольник DNPFML, вершинами которого служат точки пересечения сторон треугольника с параллелями Лемуана, называется первым шестиугольником Лемуана (черт. 79).

Теорема. Три стороны шестиугольника Лемуана, не лежащие на сто-ронах треугольника, суть равные антипараллели.

Прямая LM есть диагональ параллелограмма LKMA. Второй диагональю параллелограмма является симедиана, выходящая из вершины А. Симеднана делит отрезок LM пополам, следовательно, LM антипараллельна стороне ВС (см. § 89).

Дата публикации: 15.12.2015 15:49 UTC

учебник по геометрии :: геометрия :: Зетель

Следующие учебники и книги:

Зетель, Семен Исаакович — Новая геометрия треугольника [Текст]

Геометрия — Метод. пособия
Шифр хранения:
FB Б 62-21/124

FB Б 62-21/123

Описание

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Новая геометрия треугольника, Зетель С.И., 1940»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.

Нашлось 16 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).