первый это второй если всех пересчитать

План урока:

Действие сложение. Знак «+». Название компонентов действия сложения. Переместительное свойство сложения

Действие вычитание. Знак «–». Название компонентов действия вычитания

Взаимосвязь между действием сложения и действием вычитания

Мелодия и золотое сечение

Простой

5 мин

2.6K

В мелодии, которая звучит в ролике, реализована простая идея: длительность каждой ноты в паре с длительностью соседней ноты, прошедшей или будущей, образуют пропорцию золотого сечения.

Золотое сечение это соотношение двух величин, равное 1,61803398875.. или коротко 1,618. Все значения, которые будут приведены в статье, округлены до трёх знаков после запятой. Золотое сечение обозначается буквой Ф.

Мелодия состоит из нот гармонической последовательности C-Em-F-CG. Первый такт это До мажор. Второй такт это Ми минор, за исключением ноты Ля. Третий такт это Фа мажор. И четвёртый такт это соединение двух аккордов До мажор и Соль мажор.

Мелодия цикличная, разрешается в первую ноту, поэтому её можно изобразить в виде окружности, где двадцать четыре дуги это длительности нот:

Заглавные буквы это ноты: C – До, D – Ре, E – Ми, F – Фа, G – Соль, A – Ля, H – Си. Мелодия располагается на двух октавах. Ноты нижней октавы обозначены буквами с точкой.

Длительность первой ноты мелодии находится в нижнем левом углу квадрата. Начало первой ноты и начало цикла выделено буквой С (нота До). Сама мелодия записана в тональности До мажор. Мелодия читается слева направо, против часовой стрелки. О квадрате, который изображён на рисунке, я расскажу позже, в конце статьи. Будет кое-что интересное.

Обозначения длительностей представлены на следующей картинке:

Здесь мелодия изображена как пиано ролл c изображением клавиш и длительностей напротив нот, которые последовательно звучат в мелодии:

Итак, длительности нот:

a = 1 секунда
b = a/Ф (0,618)
c = b/Ф (0,382)

Таких нот в мелодии 8, 12 и 4. Длительность мелодии равна 8a+12b+4c или 16,944 секунды.

Если это значение разделить на 4, то получим длительность такта 4,236. Это золотое сечение в третьей степени. Длительности любых шести нот мелодии, звучащих друг за другом, в сумме равны Ф в кубе.

Мелодия, как я уже упомянул, цикличная, разрешается в первую ноту. Первая и последняя ноты цикла соединяются в пропорции золотого сечения. Длительность мелодии плюс первая нота в сумме равны 17,944. Это золотое сечение в шестой степени.

Степени золотого сечения

Первые 2 ноты это Ф. Первые 3 ноты — Ф в квадрате. Первые 6 нот — Ф в кубе. Первые 9 нот — Ф в 4-й степени. Первые 15 нот — Ф в 5-й степени. Первые 25 нот (с учетом цикличности) — Ф в 6-й степени. Первые 41 нота (с учетом цикличности) — Ф в 7-й степени.

Возводить в степень можно и в обратном направлении. Первая и последняя ноты это Ф. Первая и последние 3 ноты – Ф в квадрате. Первая и последние 5 нот – Ф в кубе. Первая и последние 9 нот – Ф в 4-й степени. Первая и последние 15 нот – Ф в 5-й степени. Первая и последние 24 ноты – Ф в 6-й степени. Первая и последние 40 нот – Ф в 7-й степени.

19 циклов ≈ Ф¹². 341 цикл ≈ Ф¹⁸. 6119 циклов ≈ Ф²⁴. И т.д.

Золотые сечения

Цепочки из длительностей нот образуют между собой более тридцати различных комбинаций золотых сечений:

a/b=Ф
b/c=Ф
(a+b)/a=Ф
(b+c)/b=Ф
(2b+c)/a=Ф
(2a+b)/(2b+c)=Ф
(2a+2b)/(a+b+c)=Ф
(2a+2b+c)/(a+2b)=Ф
(2a+3b+c)/(2a+b)=Ф
(3a+3b+c)/(a+3b+c)=Ф
(3a+4b+c)/(2a+2b+c)=Ф
(4a+4b+c)/(2a+3b+c)=Ф
(4a+5b+c)/(2a+3b+2c)=Ф
(4a+5b+2c)/(2a+4b+c)=Ф
(4a+6b+2c)/(3a+3b+c)=Ф
(5a+6b+2c)/(3a+4b+c)=Ф
(5a+7b+2c)/(3a+4b+2c)=Ф
(6a+7b+2c)/(3a+5b+2c)=Ф
(6a+8b+3c)/(4a+5b+c)=Ф
(6a+9b+3c)/(4a+5b+2c)=Ф
(7a+9b+3c)/(4a+6b+2c)=Ф
(8a+10b+3c)/(4a+7b+3c)=Ф
(8a+11b+4c)/(5a+7b+2c)=Ф
(9a+12b+4c)/(5a+8b+3c)=Ф
(10a+13b+4c)/(6a+8b+3c)=Ф
(10a+14b+5c)/(6a+9b+3c)=Ф
(11a+15b+5c)/(7a+9b+3c)=Ф
(12a+17b+6c)/(8a+10b+3c)=Ф
(13a+18b+6c)/(8a+11b+4c)=Ф
(14a+20b+7c)/(9a+12b+4c)=Ф
(16a+23b+8c)/(10a+14b+5c)=Ф

Симметрия

Если взять вторую ноту любого такта, то с учётом цикличности длительности слева и справа от выбранной ноты будут симметричны друг другу.

.. b | c | b | a | b | a | b | c | b ..

Тоже самое относится и к пятой ноте.

.. a | b | a | b | c | b | a | b | a ..

В мелодии есть ещё один вид симметрии. Возьмём любую пару соседних нот. Длительности нот, равноудаленные от этой пары, будут между собой в пропорции золотого сечения.

Нота кульминации

Самая высокая нота мелодии, нота Соль во втором такте, находится на золотом сечении мелодии (b/a=Ф), причём это сечение делит длительность ноты также в пропорции золотого сечения.

Мелодия становится устойчивой при повторении цикла. Интервал между двумя нотами кульминации и интервал между последней нотой кульминации и окончанием повторения образуют между собой золотое сечение (b/c=Ф). Интервал между второй нотой кульминации и окончанием повторения и интервал между началом мелодии и первой нотой кульминации образуют золотое сечение (c/a=Ф).

Пары нот одной высоты

В мелодии есть несколько пар нот одной высоты. Начало мелодии – две ноты До (с учётом цикличности). Середина мелодии – ноты Ля. Ноты Ми в четвертом такте. И конец мелодии – ноты До (с учётом цикличности).

Соединения нот обозначим буквами А, Б, В, Г. Получится три интервала: АБ=8,472, БВ=5,236, ВГ=3,236, которые в сумме дают длительность мелодии. Эти интервалы образуют между собой золотые сечения:

АБ/БВ=Ф
АВ/АБ=Ф
БВ/ВГ=Ф
БГ/БВ=Ф

Золотое сечение и число Пи

Если мелодию повторить три раза, то длительность составит 12Ф³ или 50,832 секунды. Это 10ФП. Отклонение 0,00078. Можно получить формулу соотношения:

6Ф² ≈ 5П или П ≈ 1,2*Ф²

Если длительность цикла разделить на 3,3333, то получим произведение золотого сечения и числа Пи.

Вариант №2

Если взять а = 1/Ф (0,618) и всё пересчитать, то длительность мелодии составит 10,472 секунды. При делении на 4 длительность такта будет равна золотому сечению в квадрате. При трёхкратном повторении мелодии будет 10П. При делении цикла на 3,3333 просто число Пи.

Второй вариант можно послушать здесь:

В начале статьи я обещал рассказать что-то интересное о квадрате, изображённом на рисунке с окружностью. Выполняю обещание. Для удобства повторю изображение без обозначения нот.

Мелодия не только «круглая», но и «квадратная». Повторяющиеся структуры, кратные четырём тактам, музыканты называют «квадратом». Мелодия четырёхтактная. Квадрат нарисован таким образом, что, пересекая окружность, образует в углах квадрата четыре дуги, равные длительностям первой ноты каждого из четырёх тактов. Угол дуги в градусах – 90/Ф³ или 21,246.

Оставим на рисунке только окружность и квадрат. Сдвинем квадрат так, чтобы низ квадрата совпал с нижней точкой окружности.

Вроде бы нет ничего интересного.

А теперь на этом изображении разместим рисунок Леонардо да Винчи «Витрувианский человек»:

Окружности и квадраты двух рисунков совпали.

Если взять длину дуги первой ноты 1/Ф² и всё пересчитать, то длина окружности составит 4Ф. В квадрат будет вписан человек среднего роста 1,70.

По мнению исследователей, рисунок да Винчи был создан, как иллюстрация к трактату Луки Пачоли «Божественная пропорция», где итальянский математик рассказывает о золотом сечении.

Действие вычитание. Знак-

Название компонентов действия вычитания

Давай продолжим раскрывать тайны науки математики. Ведь есть еще одно очень важное математическое действие, с которым нам обязательно нужно познакомиться.

Итак, гномики закончили свою работу и возвращаются домой.

Дома их ждет Белоснежка. 

Она приготовила для гномиков угощение – испекла пирожные. Посчитай, сколько их получилось.

У тебя тоже получилось девять пирожных? Значит, ты посчитал правильно!

Когда гномики пришли домой, каждый из них съел по пирожному. Помнишь, сколько было гномов у Белоснежки? Точно, семь. Они съели столько же пирожных, т.е. тоже семь.

Давай зачеркнем съеденные пирожные.

Мы видим, что осталось совсем мало – всего два пирожных. Наверное, они достанутся Белоснежке.

В математике действие, которое ведет к уменьшению количества предметов, называется вычитание. Его смысл в следующем. Из целого множества удаляется его часть. В итоге остается меньше элементов, чем их было в целом множестве.

Чтобы узнать результат действия вычитания, нужно пересчитать элементы, которые остались.

Давай подумаем, в каких случаях предметов станет меньше. Пирожных стало меньше, потому что гномики съели часть из них. Еще могут быть такие ситуации:

• отдали;
• забрали;
• улетели (ушли, уехали);
• продали;
• использовали;
• сломали.

Для того, чтобы записать действие вычитания в виде математического выражения используют специальный знак. Знак вычитания выглядит так.

Он называется «минус».

В тетради знак «минус» пишется так.

Порядок написания знака «минус» следующий.

1. Ставим ручку чуть правее середины левой границы клетки.
2. Ведем горизонтальную прямую линию вправо.
3. Останавливаемся, немного не доходя до середины правой границы клетки.

Потренируйся писать знак «минус» в тетради.

А теперь я расскажу, как составлять математическое выражение, которое описывает действие вычитание.

Вспомни, сколько пирожных было сначала?

Правильно, 9. Запиши.

9

Гномики съели пирожные и их стало меньше, поэтому ставим знак «минус».

9 –

Они съели 7 пирожных. Запишем это число.

9 – 7

Ставим знак равенства и запишем количество пирожных, которые остались. Их оставалось 2.

9 – 7 = 2

В тетради запись выглядит так.

Названия компонентов действия вычитания запомнить довольно легко.

1. Первое число в результате вычитания станет меньше. Поэтому его называют уменьшаемое.
2. Второе число показывает, сколько надо вычесть. Значит оно вычитаемое.
3. В результате мы определяем какая разница между тем, что было и тем, что осталось. Поэтому результат действия вычитания называется разность.

Левая сторона этого выражения тоже называется разность.

Если в задании говорится, что нужно «найти разность чисел», значит, следует составить математическое выражение с действием вычитания.

Такое выражение можно прочитать по-разному.

1. Из девяти вычесть семь будет два.
2. Девять минус семь получим два.
3. Уменьшаемое девять, вычитаемое семь, разность два.
4. Разность чисел девять и семь равна двум.

Закрепим все, что ты узнал о действии вычитания и составим математическое выражение по такой картинке.

Посмотри, сколько всего было шариков у гномика сначала? Запиши.

Правильно, пять.

Что случилось с некоторыми шариками? Сколько таких шаров?

Верно, два шарика сдулись и у гномика шариков осталось меньше. Значит нужно написать «минус два».

5 – 2

Ставим знак равенства и пересчитаем, сколько осталось целых шариков.

Их три.

5 – 2 = 3

Вот мы и составили выражение.

А теперь разберемся, как нужно решать примеры на вычитание. Например, посчитаем, сколько будет:

6 — 4

Назови уменьшаемое. Выложи столько же кружочков. Их должно быть 6.

Теперь назови вычитаемое. Убери (отодвинь, зачеркни) четыре кружочка.

Пересчитай кружочки, которые остались, и ты узнаешь ответ. Запиши его после знака равенства.

6 – 4 = 2

Мы решили пример на вычитание. Теперь ты знаешь, что обозначает это математическое действие, как называются компоненты вычитания, и как нужно составлять и решать математические выражения с действием вычитания.

Действие сложение. Знак +

Название компонентов действия сложения. Переместительное свойство сложения

Добрый день! Готов к новому уроку? Сегодня у нас будет очень важное занятие. Мы получим самые драгоценные и сокровенные знания. Без этих знаний невозможно существование науки математики!

В таком сложном деле нам нужны помощники. Мы их найдем в сказочном лесу.

— Догадался? В этом лесу живут настоящие профессионалы по поиску драгоценностей и сокровищ. Это сказочные гномики.

Посмотри на них, какие они веселые и доброжелательные. Гномики улыбаются тебе и желают хорошего настроения на весь урок. Улыбнись им в ответ и давай приступим к занятию.

Гномики целый день работали в шахте. Они искали драгоценные камни.

Посмотри, сколько камней собрал гном Том и гном Тим. Посчитай.

Гном Том собрал 4 камня.

А гном Тим собрал 3 камня.

Чтобы не нести эту тяжесть в руках, они сложили все свои камни в тачку.

Теперь в тачке лежат и камни, которые собрал Том, и камни, которые собрал Тим. Давай-ка мы их все достанем и пересчитаем.

В тачке оказалось 7 камней.

Ого, как много! Как ты думаешь, почему?

Верно, потому что в тачку сложили камни оба гномика. А это всегда будет больше, чем у каждого по отдельности.

Итак, что сделали гномики?

Точно, они сложили свои камни вместе. В математике такое действие тоже называется сложение. Его суть в том, что элементы двух множеств объединяются в одно целое.

Смотри, множество камней Тома и множество камней Тима объединились в тачке в одно множество. При этом в объединенном множестве количество элементов становится больше.

Чтобы узнать результат сложения чисел, нужно пересчитать все элементы и первого, и второго множества вместе.

Гномики сложили камни вместе. А какие еще действия приводят к тому, что предметов становится больше?

Таких действий довольно много. Например, если в добавок к тому, что уже есть, кто-то:

• еще что-то даст или подарит;
• купит;
• принесет или привезет;
• смастерит еще несколько предметов;
• еще кто-то придет или прилетит.

Любое действие, которое ведет к увеличению количества предметов, подразумевает выполнение действия сложения. Часто это действие еще называют «прибавление».

Чтобы записать действие сложение в виде математического выражения, используется специальный знак. Знак сложения выглядит так.

Посмотри, в этом знаке тоже произошло объединение: две палочки соединились в одно целое. Этот знак называется «плюс».

Посмотри, как знак «плюс» пишется в тетради.

Порядок написания следующий.

1. Начинаем чуть ниже середины верхней границы клетки. Ведем прямую линию вниз и останавливаемся, немного не дописав до середины нижней границы клетки.
2. Вторую линию начинаем писать чуть правее середины левой границы клетки. Ведем ее вправо и останавливаемся, немного не дописав до середины правой границы клетки.

Потренируйся писать знак плюс в тетради.

Теперь разберемся, как именно надо составлять математическое выражение, описывающее действие сложения. Давай вспомним, что было сначала.

Том собрал 4 камня и Тим собрал 3 камня.

Они вместе высыпали свои камни в тачку, т.е. объединили их. Поэтому мы ставим между числами знак «+».

В результате объединения все камни оказались в тачке. Мы их все пересчитали – в тачке 7 камней. Их ровно столько, сколько было у обоих гномиков вместе. Поэтому между левой и правой частью выражения нужно поставить знак равенства «=».

В тетради надо записать так.

Теперь я расскажу, как называются компоненты действия сложения. Числа, которые обозначают количество элементов в каждом отдельном множестве, называются слагаемые. А число, которое обозначает результат, полученный при объединении этих множеств, называется сумма.

Поскольку левая сторона записи равна правой, то и само выражение тоже называют «сумма». Читают так «сумма чисел 4 и 3».

Поэтому, когда говорят «найди сумму», нужно выполнить действие сложение.

Итак, наше выражение можно прочитать несколькими способами:

1. Четыре плюс три равно семь.
2. К четырем прибавить три получим семь.
3. Первое слагаемое – четыре, второе слагаемое – три, а сумма – семь.
4. Сумма чисел четыре и три равна семи.

Идем дальше. Нам нужно выучить очень важное правило для действия сложения. Давай вернемся к нашим гномикам. Ты же помнишь, что каждый из них положил свои камни в тачку и потом мы их посчитали вместе, т.е. нашли сумму. Как ты думаешь, кто из гномиков первый положил камушки в тачку?

Мы записали, что первое слагаемое четыре. Получается, что первым был гномик Том, а потом гномик Тим.

Теперь давай представим, что порядок был другой. Сначала в тачку положил свои камушки Тим, а потом Том. Значит первое слагаемое – это три, а второе – четыре. Изменится ли от этого общее количество камней в тачке, т.е. наша сумма?

Теперь в тачке три камня Тима и четыре камня Тома. Посчитай их вместе.

Всего камней семь. Ровно столько же, сколько был и первый раз.

Получается, что не важно, кто из гномиков положил камушки первый, а кто второй. Их общее количество не меняется. Значит, сумма не меняется.

Посмотри. И четыре плюс три будет семь, и три плюс четыре тоже будет семь.

В математике это называется переместительное свойство сложения. Оно звучит так: от перестановки слагаемых местами сумма не изменяется. Запишем.

Это переместительное свойство очень пригодится тебе при изучении таблиц сложения. Запомни его!

Чтобы закрепить все, что мы узнали о действии сложения, потренируемся составлять примеры по картинкам.

Посчитай, сколько синих фигур на картинке. Запиши.

Правильно, 3.

Теперь посчитай красные фигуры и запиши.

Их 2.

Нам нужно посчитать их вместе. Это подразумевает объединение всех фигур. А значит, надо выполнить действие сложение. Поэтому поставим между нашими числами знак «плюс».

3 + 2

Теперь нужно пересчитать ВСЕ фигуры ВМЕСТЕ. Сколько у тебя получится?

У меня вышло 5. Уверена, у тебя тоже. Запишем это, поставив сначала знак равенства.

3 + 2 = 5

Вот и все. Ничего сложного.

Теперь рассмотрим, как нужно решать примеры на сложение. Давай прочитаем это выражение.

2 + 4

Можно так «два плюс четыре».

Чтобы найти результат, нужно следовать алгоритму выполнения действия сложения.

1. Посмотри, какой знак используется в выражении.

Это знак «плюс», значит нужно объединить, посчитать все вместе.

2. Назови первое слагаемое и положи перед собой нужное количество кружочков (можно взять палочки, спички, кубики или любые другие предметы).

1. Теперь назови второе слагаемое и положи необходимое количество кружочков рядом с предыдущими.

1. Пересчитай все кружочки вместе и запиши полученный результат.

2 + 4 = 6

Вот и все. Теперь ты знаешь, что такое действие сложение, как называются компоненты сложения, а также как составлять и решать примеры, в которых нужно выполнить это действие.

Взаимосвязь между действием сложения и действием вычитания

Итак, ты выучил два математических действия: сложение и вычитание. Одно из них используется при объединении предметов в единое множество, а другое при удалении из целого множества его части.

Ты вспомнил, что обозначает каждое действие?

Эти действия связаны между собой, но имеют противоположное значение. При сложении мы получаем больший результат, а при вычитании предметов становится меньше. Вот, например, представь, что у тебя было несколько конфет и тебе дадут еще пару штук. Что получится?

Правильно, у тебя конфет станет больше.

А если ты съешь несколько конфет? Что у тебя останется?

Правильно, у тебя останется меньше конфет.

А теперь давай проверим, какая именно взаимосвязь между действиями сложения и вычитания. Разберем одну ситуацию и составим по ней математическое выражение.

У Белоснежки День рождения. Гномики решили устроить для нее праздник. Посчитай, сколько их всех на картинке.

Правильно, их трое.

К Белоснежке на День рождения пришли зверята. Посчитай, сколько их.

Верно, пять зверят.

Подумай, какое действие мы должны использовать, чтобы составить выражение?

Ну конечно, действие сложение. Ведь теперь их всех вместе стало больше.

Было три, пришло еще пять. Посчитай, сколько теперь всех вместе.

Правильно, восемь.

Запишем в виде выражения.

3 + 5 = 8

3 – это первое слагаемое, оно показывает, сколько элементов было в первом множестве.

5 – это второе слагаемое, оно показывает, сколько элементов было во втором множестве.

8 – это сумма, она обозначает количество элементов в общем множестве.

Теперь на полянке и гномики с Белоснежкой (это наше первое множество), и зверята (это второе множество). Они все вместе.

Получается, что на празднике веселились 8 друзей. Когда праздник закончился, зверята ушли домой. Как ты думаешь, какое математическое действие надо использовать в этом случае?

Правильно, действие вычитание. Ведь зверята ушли и на полянке останется меньше друзей.

Итак, 5 зверят ушло. Кто остался? Сколько их?

Верно, остались гномики с Белоснежкой. Их 3.

Составим математическое выражение.

8 – 5 = 3

Мы видим, что если из общего множества (суммы) убрать элементы второго множества (второе слагаемое), то останутся только элементы первого множества (первое слагаемое).

А если было наоборот, из 8 друзей первыми с полянки ушли гномики с Белоснежкой (их 3). Кто на ней останется?

Правильно, останутся зверята. Их 5.

Посмотри, как это запишем.

8 – 3 = 5

Теперь мы из общего множества (суммы) убрали элементы первого множества (первое слагаемое) и остались только элементы второго множества (второе слагаемое).

Итак, у нас получается, что мы при сложении два множества объединяем в одно целое. А если из этого общего множества убрать какое-то одно из составляющих множеств, то останется другое. 

В математике это правило взаимосвязи между компонентами сложения звучит так: если из суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.

Мы видим, что в примере на сложение есть два слагаемых. Поэтому можно сделать следующий вывод: из одного математического выражения с действием сложения можно составить два выражения с действием вычитания.

8 – 3 = 5

8 – 5 = 3

Это очень важное правило, которое поможет тебе в дальнейшем быстро и легко учить таблицы вычитания.

А на сегодня все. Гномики помогли нам получить очень важные и ценные знания. Нужно обязательно поблагодарить их за это.

В материалах урока использованы кадры из а/ф «Белоснежка и семь гномов», 1937