Караванова английский для всех универсальное пособие для изучающих английский язык

Английский для всех. Универсальное пособие для
изучающих английский язык. Караванова Н.

. —
04 с. +

Пособие написано
на основе методики, направленной на развитие навыков речевой деятельности:
говорения, письма, чтения, аудирования. В каждом уроке — полезная лексика и
упражнения для отработки коммуникативных навыков. Объяснения грамматики даны с
учетом особенностей родного языка учащихся – в данном случае русского. Особое
внимание уделяется грамматическим конструкциям, которые традиционно вызывают
трудности у русскоязычных учащихся. К книге прилагаются аудиофайлы с материалами
по каждому уроку.

Размер:
 1,7 Мб

Формат:
mp3 / zip

Размер:
 150 Мб

Предисловие 4
Part I
Lesson 1. FORMS OF ADDRESS 8
Lesson 2. USING THE PHONE. TIME 15
Part II
Lesson 3. GETTING ACQUAINTED. INTRODUCTIONS . 25
Lesson 4. PROFESSIONS 34
Lesson 5. NATIONALITY 44
Lesson 6. LANGUAGE 55
Lesson 7. ABOUT YOURSELF. THE FAMILY 65
Part III
Lesson 8. MY DAY 78
Lesson 9. FREE TIME. INVITATIONS TO SOMEONE’S
HOUSE, TO THE THEATER 91
Lesson 10. HOBBIES. INTERESTS 105
Part IV
Lesson 11. HOLIDAYS. CONGRATULATIONS 118
Lesson 12. GOING TO SOMEONE’S HOUSE 135
Part V
Lesson 13. GETTING AROUND THE CITY 153
Lesson 14. IN THE STORE 172
Part VI
Lesson 15. THE WEATHER. THE SEASONS.
FAVORITE SEASON OF THE YEAR 189
Lesson 16. HEALTH. HOW YOU FEEL 205
Перевод диалогов и текстов на русский язык 219
Англо-русский словарь 288

О том, как читать книги в форматах
,

— см. раздел «Программы; архиваторы; форматы

Характеристики

Уварова Наталия Викторовна

6 ноября 2012

Бумага писчая 60/60

15 часов 12 минут

1. При получении

Оплата производится в момент получения заказа. Наличными или картой.

2. Наложенный платеж

Доставка почтой России

3. Банковской картой на сайте

Visa, MasterCard, Maestro, МИР

Другие издания

Заказать тираж книги для вашей компании

Тригонометрические задачи с решениями

Угол подъема верха здания на расстоянии 50 м от его подножия в горизонтальной плоскости равен 60°. Найдите высоту здания.

Здесь AB представляет собой высоту здания, BC представляет собой расстояние от здания до точки наблюдения.

В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла 60°, известна как противоположная сторона (AB), сторона, лежащая против угла 90° называется стороной гипотенузы (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной (BC).

Теперь нам нужно найти длину стороны АВ.

Tanθ = противоположная сторона/соседняя сторона

TAN60 ° = AB/BC

√3 = AB/50

√3 x 50 = AB

AB = 50√3

Приблизительное значение √3 — 1,732

AB = 86,6 м

Итак, высота здания 86,6 м.

Лестница, приставленная к стене так, что она достигает вершины стены высотой 6 м, и лестница наклонена под углом 60°. Найдите, на каком расстоянии лестница от подножия стены.

Здесь AB представляет собой высоту стены, BC представляет собой расстояние между стеной и основанием лестницы, а AC представляет собой длину лестницы.

В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла 60°, называется противоположной стороной (AB), сторона, лежащая против угла 90°, называется стороной гипотенузы (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной ( ДО Н.Э).

Теперь нам нужно найти расстояние между подошвой лестницы и стеной.

То есть нам надо найти длину BC.

tanθ = противоположная сторона/прилегающая сторона

tan60° = AB/BC

√3 = 6/BC

BC = 6/√3

BC = (6/√3) x (√3/√ 3)

ВС = 2√3

Приблизительное значение √3 равно 1,732.

BC = 3,464 м

Итак, расстояние между подошвой лестницы и стеной равно 3,464 м.

Веревка воздушного змея имеет длину 100 метров и наклон веревки относительно земли составляет 60°. Найдите высоту воздушного змея, считая, что тетива не имеет провисания.

Здесь AB представляет высоту воздушного змея от земли, BC представляет собой расстояние воздушного змея от точки наблюдения.

В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла 60°, называется противолежащей стороной (AB), сторона, лежащая против угла 90°, называется стороной гипотенузы (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной (BC) .

Теперь нам нужно найти высоту стороны AB.

sinθ = противолежащая сторона/сторона гипотенузы

sinθ = AB/AC

sin60° = AB/100

√3/2 = AB/100

(√3/2) x 100 = AB

AB = 50√3 м

Те, кто искали эту книгу – читают

Уведомить о начале продаж:

Оставьте отзыв

Английский для всех. Универсальное пособие для изучающих английский язык (+MP3)

Н. Б. Караванова

Читай где угоднои на чем угодно

Как слушать читать электронную книгу на телефоне, планшете

Доступно для чтения

Читайте бесплатные или купленные на ЛитРес книги в мобильном приложении ЛитРес

Установите бесплатное приложение «Читай!» и откройте его

В главном меню в «Мои книги» находятся ваши книги для чтения

Вы можете читать купленные книги и в других приложениях

Загрузите этот файл в свое устройство и откройте его в приложении.

1 декабря 2011

Бумага писчая 62/60

Публикации

22 августа 13:51

О книге «Great Britain. Пособие по страноведению для школьников»

Данная книга представляет собой пособие по страноведению, которое знакомит учащихся с основными достопримечательностями, историей и биографиями знаменитых граждан Великобритании.Книга предназначена для учащихся старших классов гимназий и школ с углубленным изучением английского языка, для студентов высших и средних специальных учебных заведений.2-е издание, исправленное.

Английский язык для педагогических специальностей — Степанова С. , Хафизова С. и др.

Пособие направлено на совершенствование навыков чтения и перевода литературы по педагогическим специальностям на английском языке; развитие навыков аудирования, говорения и письма; овладение базовой терминологией в сфере образования. Для студентов педагогических вузов.

• Английский язык / Дополнительно Английский
• Хафизова С.И. и др.
• 1 754

Тригонометрия

ТРИГОНОМЕТРИЯ – раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их применение в решении задач, главным образом геометрических. Слово «тригонометрия» дословно с греческого языка переводится как «треугольник+измерение»..

Основная задача тригонометрии – решение треугольников, то есть нахождение неизвестных величин треугольника через известные его величины. Любую геометрическую задача можно свести к решению с помощью треугольников, поэтому тригонометрия применима и в планиметрии (изучении плоских геометрических фигур), и в стереометрии (изучении пространственных геометрических фигур).

Любая тригонометрическая величина есть функция угла (изменяется с изменением угла), поэтому и появилось название «тригонометрические функции».

Тригонометрические функции – функции угла: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec) и косеканс (cosec).

Обратные тригонометрические функции, или круговые функции, — арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg).

Прямые функции угла используют, когда по угла находят функцию, а обратные – когда по функции находят угол.

Решение треугольников было долгое время одним из разделов астрономии. Но зачатки науки можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Китая и Вавилона. Считается, что измерение углов в градусах, минутах и секундах пришло к нам от вавилонских математиков.

Способы решения сферических треугольников впервые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середины II века до н.

Решения треугольников Гиппархом и Птолемеем (создателем геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника) не знали синусов, косинусов и тангенсов. Линии синусов и косинусов начали использовать индийские астрономы (IV-V в.в.). В дальнейшем тригонометрия развивалась арабоязычными учеными (Муххамед из Буджана, Насир эд-Дина из Туса).

Европейцы познакомились с тригонометрией в XII в. Выдающийся немецкий астроном Региомонтан составил таблицы синусов с точностью до седьмой значащей цифры с интервалом 1´.

Термин «тригонометрия» впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613).

Буквенные обозначения появились в тригонометрии лишь в середине XVIII в., ввели х русский академик Эйлер, именно он придал тригонометрии такой вид, который присущ ей до сих пор. Он же ввел и обратные тригонометрические функция.

См. также полезные материалы по тригонометрии:

Таблица значений тригонометрических функций часто встречающихся углов

Тригонометрические тождества и преобразования

Таблица производных тригонометрических функций

Как вычисляются значения тригонометрических функций

Практические задачи с применением тригонометрии

Занятие по математике на тему «Практические задачи с применением тригонометрии»

Преподаватель: Пересыпкина Е.

ТРИГОНОМЕТРИЯ В НАШЕЙ ЖИЗНИ

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия,

в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике,

в биологии, в медицинской визуализации ,например, компьютерной томографии и ультразвук, в аптеках, в химии,

в теории чисел, в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках,

в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве,

в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Восход и заход солнца

Изменение фаз Луны

Чередование времен года

Затмение и движение планет

Морские приливы и отливы

• Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций
• Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Тригонометрия в медицине

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Тригонометрия в физике

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например:

называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

• Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:
• sin α / sin β = n 1 / n 2

n 1 показатель преломления первой среды

n 2  показатель преломления второй среды

α -угол падения, β -угол преломления

• Оно возникает при проникновении в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра, и определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
• Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца.

Fл = q·V·B·sin a

q- величина заряда движущегося во внешнем магнитном поле

V- модуль скорости движущегося заряда  B- модуль вектора индукции внешнего магнитного поля   a- угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции.

Тригонометрия в архитектуре

Взмах крыльев птицы при полете напоминает синусоиду

Какой четверти принадлежит угол(у доски):

6 . 590°

сos315°2. cos212° 0 7. tg15° 0 3. tg365° 0 8. sin470°4. ctg290° 0 9. ctg143°5. sin94° 10. соs56° «

1. sin128° 0

Определите знак выражения(у доски):

3 . tg212°cos200°sin89°

Найдите значение выражения(у доски):

• 2cos0° — 4sin90° + 5tg180°
• 2ctg90° — 3cos270° + 5sin180°
• 6tg30° + 4sin60° — ctg30°
• 4sin90° — 3cos180°
• 8cos90° + 7sin360° + 12tg180°

Основные тригонометрические формулы(самостоятельно)

sinα, tgα, ctgα,

sinα, cosα, сtgα,

вариант 1 вариант 2

1 – sin²α 1. 1 — cos²α

2. sin²α + cos²α + tg²α 2. sin²α + cos²α +сtg²α

3. tgαctgα + ctg²α 3. tgαctgα + tg²α

4. 1 – cos²α — sin²α 4. -1 + cos²α + sin²α

5. sin²α – tgαctgα 5. cos ²α – tgαctgα

6. sinαctgα 6. cosαtgα

Замените функцией угла α :

• sin(π/2 – α) 6. sin(270° — α)
• cos(3π/2 –α) 7. tg(360°+α)
• tg(π + α) 8. cos(π – α)
• cos(2π –α) 9. ctg(90°- α)
• ctg(π/2 + α) 10. sin(180°+α)

Задачи на косвенное измерение величин.

Знание тригонометрических функций позволяет нам решать такие задачи с большей точностью.

1.Определить высоту предмета, к основанию которого подойти нельзя.

Например, нужно определить высоту телевизионной антенны, которая отделена от нас рекой.

Астролябия – инструмент используется для измерения

Небесная высота относительная «высота»

звезды, планеты или другого небесного объекта над горизонтом.

2.Определить расстояние между пунктами А и В, разделенными

а ) Пусть требуется найти расстояние от пункта А до пункта В, находящегося за рекой.

б) Пусть нужно определить расстояние от пункта А до пункта В, между которыми находится водное пространство .

3.Определить значение величин в задачах, в которых непосредственное измерение произвести невозможно

в )На рис. ниже показан кривошипно-шатунный механизм бензинового двигателя. Плечо ОА имеет длину 11 см и вращается по часовой стрелке вокруг О. Шатун АВ имеет длину 32 см, и конец В движется горизонтально. Определить угол между шатуном АВ и горизонталью показанном на рис .

г )На рис. показаны два вектора напряжения, V 1 =50В и V 2 =90В .

Тригонометрия в нашей специальности

Примеры минимальных уклонов канализации

Разметка и резка труб под углом круглого сечения

Пример лекала для трубы диаметром 630мм, угол среза 10 град.

Резка трубы под углом

производится по бумажным лекалам, обернутым вокруг заготовки.

Какой бы способ резки труб не был выбран, необходимо следить за точностью нанесения разметки. От этого зависит точность реза.

Поэтому изготовим лекала с помощью миллиметровой бумаги.

Цилиндр, пересеченный наклонной плоскостью. Формула для построения развертки.

y=R· tgα· sinx,

где α-угол среза трубы,R-радиус трубы

Пример цилиндрической трубы с коленом, угол 45 ͦ. развертка

Пример цилиндрической трубы с коленом, угол 60 ͦ. развертка

Задание по вариантам(выполняется на миллиметровой бумаге)

1. На уроке я работал                 активно / пассивно

2. Своей работой на уроке я   доволен / не доволен

3. Урок для меня показался     коротким / длинным

4. За урок я                                     не устал / устал

5. Мое настроение              стало лучше / стало хуже

6. Материал урока мне был     понятен / не понятен, полезен / бесполезен

Методика решения задач по геометрии с применением тригонометрии

Математика является неотъемлемой и существенной частью общечеловеческой культуры. Изучение данной дисциплины оказывает значительное воздействие на развитие и формирование личности, совершенствует мышление, помогает выработке мировоззрения, качественно влияет на нравственное и духовное воспитание учащихся. Эффективность обучения во многом зависит от подбора задач, от их систематизации. В современной методике обучения математике все больше внимания уделяется использованию совокупностей, систем задач.

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики, представляет собой его целостный и самостоятельный раздел. Даже при первоначальном знакомстве с тригонометрией обращает на себя внимание тот факт, что этот предмет тесно связан с геометрией, а значит и с решением задач, что всегда вызывают особые трудности у учащихся. Решение же задач с применением тригонометрии еще более усиливает эти трудности.

Сейчас все большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Задачи становятся не только и не столь целью, сколько средством обучения. Умение решать задачи — показатель обученности и развития учащихся. Умение решать задачи с помощью тригонометрии показатель высокой культуры ученика.

Несмотря на то, что задачи в 8 классе курса геометрии решаются в большом количестве, затем тригонометрия используется и при решении задач в курсе алгебры, это остается проблемой для всех учащихся.

Они часто заменяют простой тригонометрический метод решения задач более сложным геометрическим или алгебраическим.

Подобная тенденция, к сожалению, сохраняется и в последние годы. Необходимы поиски путей устранения данной проблемы, что свидетельствует об актуальности темы нашего исследования.

Объект исследования: задачи по геометрии с применением тригонометрии в курсе математики 8 класса.

Предмет исследования: методика решения задач по геометрии с применением тригонометрии в 8 классе.

Цель исследования: изучить различные методические подходы к решению задач по геометрии с применением тригонометрии в курсе математики 8 класса.

Гипотеза исследования: оптимальный подход к решению задач по геометрии с применением тригонометрии будет способствовать развитию аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формированию их математической зоркости.

Методы исследования: наблюдение, анализ, сравнение, репродуктивный и частично — поисковый.

Глубоко изучить тригонометрический материал в курсе геометрии основной школы;

— Рассмотреть различные методы решения текстовых задач, предлагаемых альтернативных учебниках;

— Решить наиболее интересные задачи из курса геометрии 8 класса;

— Рассмотреть нестандартные задачи, предлагаемые в альтернативных учебниках геометрии;

— Проверить гипотезу.

Глава 1. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника в курсе геометрии 8 класса

1.1История развития вопроса

История тригонометрии, как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур, охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобились ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.

Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре.

Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она охватывает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном «четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам. Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.

Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, составляющие содержание тригонометрии:

Выражение любой тригонометрической функции через любую другую;

Формулы для синусов и косинусов кратных и половинных углов, а также для суммы и разности углов;

Теоремы синусов и косинусов;

Решение плоских и сферических треугольников.

Современный вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному, и соответственно определил обратные функции. Если его предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера, стали рассматриваться как безразмерные аналитические функции действительного и комплексного переменного. Для комплексного случая он установил связь тригонометрических функций с показательной функцией (формула Эйлера). Подход Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.

В России первые сведение о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л.Ф. Магницкого в 1703 году.

В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии.

Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М.Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

1.2 Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 1).

Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Синус, косинус и тангенс угла ? обозначаются символами sin ?, cos ?, tg ? (читаются: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа».

sin А = , (1)

cos А = (2)

tg А = . (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. В самом деле, пусть АВС и А1В1С — два прямоугольных треугольника с прямым углами С и С1 и равными острыми углами А и А1. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому = = . Из этих равенств следует, что = , то есть sin А = sin А1. Аналогично = , то есть cos А = cos А1, и = , то есть tg А = tg А1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 2). Докажем, что в прямоугольном треугольнике АВС sin А = cos В и cos А = sin В.

sin А = cos В, так как ?А + ?В = 90?, то ?А = 90? — ?В,

sin А = sin ( 90? — ?В ) = cos В, sin ( 90? — ?В ) = cos В.

cos А = sin В, так как ?А + ?В = 90?, то ?А = 90? — ?В,

cos А = cos ( 90? — ?В ) = sin В, cos ( 90? — ?В ) = sin В.

1.3 Основное тригонометрическое тождество в курсе геометрии 8 класса

Докажем теперь справедливость равенства

Возьмем любой прямоугольный треугольник АВС с углом при вершине А, равным ? (рис. 3).

По теореме Пифагора + = . Разделим обе части равенства на . Получим:

+ = 1, sin А = , cos А = .

Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла ?.

называется основным тригонометрическим тождеством.

Из основного тригонометрического тождества можно получить два тождества:

1 +? = (2) и 1 +? = (3).

Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного равенства на ?. Получим:

+ 1 = , или 1 +? = (4)

Если обе части тождества ? + ? = 1 разделить на ?, то получим третье тождество:

1 +? = (5).

Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин ? или ?, найти две другие.

Примером применения этих тождеств может служить такая задача:

Вычислите значения sin ? и ?, если ? = , где ? — острый угол.

Так так ? + ? = 1, то sin ? = = =,

Ответ: sin ? = , = .

1.4 Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30?, 45? и 60?

Найдем сначала значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30? и 60?. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 4), у которого ?А=30?, ?В =60?.

Так как катет, лежащий против угла в 30?, равен половине гипотенузы, то = . Но = sin А = sin 30?. С другой стороны, = В = 60?. Итак, -sin 30? = , 60? = . Из основного тригонометрического тождества получаем:

30? = = = ,

= = = .

По формуле (4) находим:

tg 30? = = = , tg 60? = =

Найдем теперь sin 45?, 45? и tg 45?.

Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 5).

В этом треугольнике АС = ВС, ?А=?В= 45?. По теореме Пифагора

= + = 2 = 2, откуда АС = ВС = .

sin 45? = = = = , 45?= = = = ,

tg 45?= tg = = 1.

Составим таблицу значений sin ?, ? и для углов ?, равных 30?, 45? и 60?:

Для любого острого угла ? справедливы равенства:

(90? — ?) = ?

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с острым углом ? при вершине А (рис. 6). Тогда острый угол при вершине В равен 90? — ?. По определению

sin А = , cos А = ,

(90? — ?) =, (90? — ?) = .

Из этого следует, что (90? — ?) = ? и (90? — ?) = ?.

аналитический математический геометрия тригонометрия

Глава 2. Задачи по геометрии с применением тригонометрии в курсе геометрии 8 класса

.1 Задачи на вычисление

Роль задач по тригонометрии в геометрии очень велика, так как решение задач с конкретным содержанием помогает осуществлять постепенный переход к дедуктивным доказательствам.

Систематическое решение задач способствует сознательному и прочному усвоению теории, помогает увидеть ее практическую ценность, в то же время решение задач развивает логическое мышление ученика, творческую инициативу, сообразительность и дает ему ряд нужных практических умений и навыков. Самое главное, что знание тригонометрии способствует экономии рабочего времени ученика во многих ситуациях.

Рассмотрим задачи на вычисление.

Найти синус, косинус и тангенс угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8, АВ = 17.

Найти: sin А, cos А, tg А.

Так как ? АВС прямоугольный, то теореме Пифагора АС =- ,

АС = = 15

sin А = , sin А = ,

cos А = , cos А = ,

tg А = , tg А =

Ответ: sin А = , cos А = , tg А = .

Такие задачи способствуют осознанному восприятию определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Найти площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен ?.

Дано: ABCD — трапеция, АВ = СD, ВС = 2 см, АD = 6 см, ?А = ?.

)Рассмотрим прямоугольные треугольники АВВ1 и DСС1.

? АВВ1 = ? ДСС1 по катету и гипотенузе ( АВ = СD по условию, ВВ1 = СС1 как расстояния между параллельными прямыми ВС и АD ), из этого следует, что АВ1 = С1D как соответственные элементы равных треугольников. А В1 = С1 D = ( 6 — 2): 2 = 2 см.

) Рассмотрим ? АВВ1:

ВВ1 = А В1 * tg ?А, ВВ1 = 2 * tg ?.

3) SАВСD = (АД + ВD) * ВВ1

SАВСD = ( 6 + 2) * 2 tg ? = 8 tg ? .

Ответ: SАВСD = 8 tg ? .

Найти диагонали ромба, если его диагонали равны 2 и 2.

Дано: АВСD — ромб, АС = 2, ВD = 2.

Найти: ?А, ?В.

)Рассмотрим ? АОВ, АО = АС, ВО = ВD по свойству диагоналей ромба,

АО = * 2 = 1, ВО = * 2 =

2)? АОВ — прямоугольный, ?О = 90?.

?АВО = 90? — 60?= 30?

)?А = 60? * 2 = 120?, ?В = 30? * 2 = 60? по свойству ромба,

?С = 180? — 60? = 120?, ?D = 180? — 120? = 60?,

Ответ: ?А = ?В =120?, ?В = ?D = 60?.

Решение таких задач способствует не только осознанному закреплению определений синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, но и развитию математической зоркости учащихся.

В параллелограмме АВСD сторона равна 12 см, а угол ВАD равен 47?50?. Найти площадь параллелограмма, если его диагональ ВD перпендикулярна к стороне АВ.

Дано: АВСD — параллелограмм, АD = 12, ?ВАD = 47?50?, ВD АВ.

2) = cos? А, АВ = АD * cos? А

АВ = 12 * cos 47?50? = 12 * 0, 6712 ? 8,06

= sin ? А, ВD = АD * sin ? А

ВD = 12 * sin 47?50? = 12 * 0, 7412 ? 8,89

)SАВСД = АВ * ВD, SАВСD = 8,06 * 8,89 ? 71,76 ? 72

Решение подобных задач способствует формированию у учащихся умений рассуждать, связывать воедино вопросы алгебры, геометрии, тригонометрии.

Стороны прямоугольника равны 3 см и см. Найти углы, которые образует диагональ со стороной прямоугольника.

Найти: ?АВD, ?АDВ.

?АDВ = 90? — 60? = 30?

Ответ: ? АВD = 60?, ?АDВ = 30?.

Решение такой задачи способствует развитию исследовательских навыков у учащихся. Например, при решении этой задачи ученик должен увидеть прямоугольный треугольник, выяснить какими углами являются ?АВД и ?АДВ, вспомнить определение синуса, косинуса, тангенса, выбрать необходимые определения. Еще более глубокие исследования проводит ученик, решая следующую задачу:

В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом 2. Высота PH делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1: 2, считая от вершины Р. Найти периметр треугольника РМК и установить его вид.

Дано: ? РМК — равнобедренный, МК — основание, окр. (О; r) — вписана, РН — высота, РА: АН = 1: 2, r = 2.

)Так как РА: АН = 1: 2, тот НА = 2РА, то есть РН = 3ОА = 3 ОН = 3РА, так как ОА = 2, то РН = 6.

2)Рассмотрим ? МРН: ?РНМ = 90?, так как РН — высота,

? ОРМ — прямоугольный, так как ОN РМ, где N — точка касания по свойству касательных к окружности.

Значит, sin ? NРО = , sin ? NРО = = , ? NРО = 30?, значит, ?М = 60?.

3)Так как ? МРК — равнобедренный, ?М = 60? (угол при основании), то ? МРК — равносторонний.

Ответ: 36, треугольник равносторонний.

Интересной задачей для учеников 8 класса является задача на вычисление высоты и площади правильного треугольника.

Найти высоту и площадь правильного треугольника со стороной а и высотой h.

Дано: ? АВС — правильный, АВ = ВС = АС = а, BD = h — высота.

Найти: SАВС, h.

)Рассмотрим прямоугольный треугольник АВD (так как BD — высота).

BD = h = а * =

2)SАВС = , SАВС = =

Ответ: h =, SАВС = .

Как видим, задача очень легко и быстро решается с помощью тригонометрии.

При этом развивается не только аналитическое, логическое мышление учащихся, их математическая зоркость, но и умение рационально мыслить, экономить свое рабочее время, находить оптимальные пути решения задач.

Для сравнения покажем, как задача решалась до изучения вопросов тригонометрии.

1)Проводим высоту BD.

2)? АВD: ?ВАD = 60?, тогда ?АВD = 30?, а против угла в 30? лежит

АD = АВ, АD = .

3)BD = h = , BD = h = = =

4)SАВС = , SАВС = =

Затруднения, которые испытывают при решении подобных задач ученики, вызываются не геометрическим содержанием, а скорее непривычкой учащихся применять в геометрии свои знания по тригонометрии.

Задачи, для решения которых должны быть использованы многие геометрические предложения, требующие умения разобраться в чертежах, установить связь между данными и искомыми элементами, провести ряд умозаключений для обоснования своих догадок. Такие задачи расширяют геометрические представления учащихся, их пространственное воображение, развивают логическое мышление, способствуют межпредметной интеграции.

2.2 Задачи на построение

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая задаче, называется решением этой задачи. Найти решение задачи на построение — значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений.

Построить угол ? в прямоугольном треугольнике АВС, если известно, что tg ? = .

Эта задача, как и любая другая на построение, требует глубокого анализа.

Учитель должен приучить учеников задавать себе вопросы следующего характера:

Что должно выполняться в этом треугольнике, если tg ? = ?

(Так как tg А = , то на ВС приходится три единицы, а на АС — пять единиц).

Дано: tg ? = .

Задача решается путем построения прямоугольного треугольника по двум катетам, тангенс ? — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Из условия следует, что противолежащий катет равен 3, а прилежащий равен 5. Строим прямоугольный треугольник с катетами три единицы и пять единиц:

Построить в прямоугольном треугольнике угол, синус которого в два раза больше его косинуса.

Дано: sin ? = 2 cos ?.

Построить: угол ?.

Решение: Пусть ? — искомый угол. По условию sin ? = 2 cos ?, отсюда tg ? = 2.Поэтому необходимо построить прямоугольный треугольник с прямым углом С, у которого = .

Тогда ?А будет искомым.

Систематическое изучение геометрических построений необходимо в школьном курсе, так как в процессе изучения задач они концентрируют в себе знания из других областей математики, развивают навыки практической графики, формируют поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также к более тщательной обработке умений и навыков.

2.3Задачи на доказательство

В задачах на доказательство требуется обосновать некоторые утверждение относительно геометрической фигуры, которое высказано заранее. Решение задач на доказательство имеет большое значение в развитии логической мысли учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов. Это можно увидеть при решении следующей задачи:

В прямоугольном треугольнике синус угла А равен .

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (?С = 90?):

На основе определения sin А = , а cos А = .

sin A = cos B, так как ?А + ?В = 90?, то ?В = 90? — ?А,

cos B = cos( 90? — ?А) = sin A, sin A = 30?, B = cos( 90? — 30?) = cos 60? = , что и требовалось доказать.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла А равен . Доказать, что синус угла А равен .

tg ?A = , tg A = 60?, значит, ?A = 60?, sin A = 60? = , что и требовалось доказать.

Такие задачи способствуют осознанному восприятию определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, а также закреплению формул приведения.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике 55? + 55? = 1.

? + ? = 1 — основное тригонометрическое тождество, которое выполняется при любых значениях ?, таким образом оно будет выполняться и при ? = 55?, то есть 55? + 55? = 1.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике sin 35? = cos 65?.

Сначала докажем, что sin A = sin (90? — ?В),

sin A = cos B, так как ?А + ?В = 90?, то ?А = 90? — ?В,

sin A = sin (90? — ?В) = cos B, 35? = cos 65?, что и требовалось доказать

Такие задачи способствуют закреплению формул приведения и основного тригонометрического тождества, развитию логического и аналитического мышления.

В ходе работы над проблемой — решение задач по геометрии с применением тригонометрии в курсе математики 8 класса, были изучены объект и, предмет исследования, которые показали необходимость осознанности работы над такими задачами.

В ходе исследования выяснено, что рациональное решение геометрических задач по тригонометрии является одной из самых актуальных в современной методике. Так как тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики, представляет собой его целостный и самостоятельный раздел.

Установлено, что решение задач по геометрии с применением тригонометрии способствует более рациональной работе с задачами.

Решение задач на вычисление способствует развитию аналитического и логического мышления, что необходимо в современной жизни.

Решение задач на построение способствует развитию конструктивного мышления и эстетического вкуса учащихся.

Решение задач на доказательство способствует формированию аналитического, логического и пространственного мышления учащихся.

Установлено, что систематическая работа по формированию навыков решения задач по геометрии с применением тригонометрии способствует развитию общего интеллектуального развития учащихся, их творческих способностей, потенциала школьника, умению разбираться в создавшейся ситуации, делать нужные умозаключения. Основным средством развития творческих способностей ученика является решение задачи, при этом главная цель — не получение результата решения задачи, а само решение задачи, как совокупность логических шагов, приводящих к получению ответа.

Очень важно научить ученика использовать оптимальные методы решения задач, среди которых тригонометрический метод является наиболее простейшим.

Цель курсовой работы достигнута: изучены различные методические подходы к решению задач по геометрии с применением тригонометрии в курсе математики 8 класса.

Таким образом, подтвердилась выдвинутая гипотеза, оптимальный подход к решению задач по геометрии с применением тригонометрии будет способствовать развитию аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формированию их математической зоркости.

3 февраля 2017

Пособие написано на основе авторской методики, направленной на развитие всех навыков речевой деятельности: говорения, письма, чтения, аудирования. В каждом уроке вы найдете полезную лексику, которая пригодится учащимся любого уровня, и упражнения для отработки коммуникативных навыков. Объяснения грамматики даны с учетом особенностей родного языка учащихся – в данном случае русского. Особое внимание уделяется грамматическим конструкциям, которые традиционно вызывают трудности у русскоязычных учащихся. Учебное пособие предназначено для студентов, преподавателей, а также для всех, кто хочет научиться свободно общаться на английском языке.

К книге прилагаются аудиофайлы с материалами по каждому уроку.

Дата выхода на ЛитРес:

Общее кол-во страниц:

3 9 высота кайта от земли 50√3 м.

С вершины башни высотой 30 м мужчина наблюдает за основанием дерева под углом падения 30°. Найдите расстояние между деревом и башней.

Здесь AB представляет высоту башни, BC представляет собой расстояние между подошвой башни и подошвой дерева.

Теперь нам нужно найти расстояние между подошвой башни и подошвой дерева (ВС).

tan30° = AB/BC

1/√3 = 30/BC

BC = 30√3

Приблизительное значение √3 равно 1,7.

BC = 30(1,732)

BC = 51,96 м

Итак, расстояние между деревом и башней равно 51,96 м.

Мужчина хочет определить высоту маяка.

Он измерил угол в точке А и обнаружил, что тангенс А = 3/4. Какова высота маяка, если А находится на расстоянии 40 м от основания?

Здесь BC представляет собой высоту маяка, AB представляет собой расстояние между маяком и точкой наблюдения.

В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла A, называется противоположной стороной (BC), сторона, лежащая против угла 90°, называется стороной гипотенузы (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной (AB). ).

Теперь нам нужно найти высоту маяка (ВС).

tanA = противоположная сторона/прилегающая сторона

tanA = BC/AB

3/4 = БК/40

30 = БК

Итак, высота маяка 30 м.

Лестница, прислоненная к вертикальной стене, образует с землей угол 20°. Нижняя часть лестницы находится на расстоянии 3 м от стены.

Найдите длину лестницы.

Здесь AB представляет собой высоту стены, BC представляет собой расстояние от стены до основания лестницы.

В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла 20°, называется противолежащей стороной (AB), сторона, лежащая против угла 90°, называется стороной гипотенузы (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной ( ДО Н.Э).

Теперь нам нужно найти длину лестницы (AC).

cosθ = смежная сторона/сторона гипотенузы

Cosθ = BC/AC

Cos 20° = 3/AC

0,9397 = 3/AC

AC = 3/0,9396

AC = 3,192

Итак, длина лестницы составляет около 3,193 м.

Воздушный змей летит на высоте 65 м, привязанный к веревке. Если наклон струны относительно земли составляет 31°, найдите длину струны.

Здесь AB обозначает высоту воздушного змея.

В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла 31°, называется противоположной стороной (AB), а сторона, лежащая против угла 90° называется стороной гипотенузы (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной (BC).

Теперь нам нужно найти длину строки AC.

sinθ = противоположная сторона/сторона гипотенузы

sin31 ° = ab/ac

0,5150 = 65/AC

Ac = 65/0,5150

AC = 126,2 м

в округе, в энтузиаре, тот длина струны 126,2 м.

Длина нити между воздушным змеем и точкой на земле равна 90 м. Если нить образует угол θ с уровнем земли, так что тангенс θ = 15/8, какой высоты будет воздушный змей?

Здесь AB представляет высоту шара от земли. В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла θ, называется противоположной стороной (AB), сторона, лежащая против угла 90°, называется стороной гипотенузы (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной (BC).

cscθ = √(1+ cot 2 θ)

cscθ = √(1 + 64/225)

cscθ2 = 5(2 + 64/225) + 64)/225

cscθ = √289/225

Но, sinθ = противоположная сторона/сторона гипотенузы = AB/AC.

AB/AC = 15/17

AB/90 = 15/17

AB = 79,41

Итак, высота башни 79,41 м.

Наблюдается самолет, приближающийся к точке, которая находится на расстоянии 12 км от точки наблюдения и имеет угол места 50°. Найдите высоту самолета над землей.

Здесь AB обозначает высоту самолета от земли. В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла 50°, называется противолежащей стороной (AB), сторона, лежащая против угла 90°, называется стороной гипотенузы (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной (BC).

На приведенном выше рисунке АВ обозначает высоту самолета над землей.

sinθ = противоположная сторона/гипотеновая сторона

sin50 ° = ab/ac

0,7660 = H/12

0,7660 x 12 = H

H = 9,192

SO, Высокая Высокая Высокая аэропорта выше. земля 9,192 км.

Воздушный шар соединен с метеорологической станцией кабелем длиной 200 м, наклоненным под углом 60° к земле. Найдите высоту шара от земли. (Представьте, что трос не провисает)

Здесь AB представляет высоту шара от земли. В прямоугольном треугольнике ABC сторона, лежащая против угла 60°, называется противолежащей стороной (AB), сторона, лежащая против угла 90°, называется гипотенузой (AC), а оставшаяся сторона называется прилежащей стороной (BC).

На приведенном выше рисунке AB обозначает высоту воздушного шара над землей.

AB = 100√3

AB = 173,2 м

Итак, высота воздушного шара от земли 173,2 м.

Мы всегда ценим ваши отзывы.